Musique et mathématiques : Interrogations, questions et autres liens

[floyer]

Jolie formule...

Par contre, j'ai voulu voir ce que cela donne avec un la440 et 9 autres harmoniques, couplé à d'autres notes de la gamme tempérée (toujours avec 9 autres harmoniques). En additionnant pour chaque accord de 2 notes, tous les coefficients R calculés en prenant les fréquences de chaque paire d'harmoniques, j'obtiens :

unisson =      0.0497
2min   =       0.6357
2maj   =       0.4463
3min   =       0.4443
3maj   =       0.4034
4      =       0.2909
triton =       0.4319
5      =       0.2045
6min   =       0.4017
6maj   =       0.3007
7min   =       0.3398
7maj   =       0.6358
octave =       0.0295

5p     =       0.0295

Le dernier chiffre est calculé avec une quinte pure (la-mi à 440-660Hz), et non une quinte tempérée (mi à 659,25Hz). La différence est significative pour un faible écart. La valeur associée au triton surprend : elle est comparable à la 3ème mineure, or le triton est bien plus dissonant.

NB : J'ai utilisé des harmoniques d'amplitudes inversement proportionnelles au rang.

[berhu]

Super intéressant les gars merci. Je suis ignare sur ces sujets et je suis ravi de suivre votre discussion tricéphale.

Est-ce que des fois tu aurais le temps, deb76, d'illustrer en audio avec Max7 comme tu le fais dans le post #42 la différence entre fonda-5j pure et fonda-5j tempérée comme les donne floyer ci-dessus? Je serais très curieux d'entendre ça...

:love

[floyer]

J'avais fait un article sur la construction des notes de musique à partir du cycle des quintes.

http://www.humeur-piano.com/origine-notes-de-musique/

on y trouve les illustrations audio des quintes tempérées, pures et la quinte du loup avec la sonorité "clarinette" de mon piano.

Est-ce que cela répond à ta question, berhu ?

[berhu]

Excellent, merci! Et c'est la première fois que moi, pauvre pianiste, j'entends un comma! Mais c'est énooorme! :mdr

J'ai fait le tour des liens que tu donnes (sur Wikipedia). Énormément de données et de théories - que j'ai lues un peu en diagonale je l'avoue - mais hélas rien à entendre. (Je m'étais cependant cultivé un peu l'oreille lorsque j'avais eu mon K2000 qui proposait différent types de tempéraments). On va dire que j'en ai retenu les principes et leurs conséquences, sans retenir trop les détails chiffrés.
C'est un versant de la musique difficile pour moi, et en même temps passionnant, car c'est toute une facette de l'histoire de l'humanité. (J'ai rebondi jusqu'à la page Wikipedia de Pythagore... ).
C'est drôle, car bien que je fus assez balèze en maths, j'ai toujours eu du mal à regarder de près la vision mathématicienne des gammes, tons, rapports de fréquences etc... Les bienfaits de la musique étant sans doute pour moi au départ - entre autres (*) - justement de fuir (ou juste relâcher) l'intellect et les névroses qui s'y fabriquent (il y a de gros dossiers dans ma famille ). Mais je suis heureux, grâce à vous et à ce forum, de combler un peu mes lacunes sur ce sujet.

Merci encore. :respect

(*) sans parler des vertus rassemblantes, et thérapeutiques, que j'ai découvert plus tard.

[Invité]

Super intéressant les gars merci. Je suis ignare sur ces sujets et je suis ravi de suivre votre discussion tricéphale.
Est-ce que des fois tu aurais le temps, deb76, d'illustrer en audio avec Max7 comme tu le fais dans le post #42 la différence entre fonda-5j pure et fonda-5j tempérée comme les donne floyer ci-dessus? Je serais très curieux d'entendre ça...
:love

Je vais te faire ça mais sur un autre sujet car je souhaiterais en même temps y associer quelques outils en ligne qui permettent d'écrire de façon manuscrite les formules de ce type de calculs et de leurs conversions afin d'être insérées dans un texte (format image png ou jpeg ce qui peut-être pratique pour des tutoriels ou des exemples), et d'applications (Google Androïd, Ipad, Iphone) effectuant là aussi ces calculs à partir d'une saisie manuscrite.
En attendant, deux liens. Le premier, une courte vidéo que j'ai faite il y a quelques jours et qui simule les battements engendrés par les frottements des fréquences et sur la base du Do 32,7 Hz (la vidéo débute à 32,6 Hz juste pour montrer avec la fenêtre du Tuner le décalage de 5,5 cents) avec plusieurs formes d'ondes :

http://www.deb8076.eu/0temperamentsvideos/MaxMSPBattements.mp4

Et une autre, plus ancienne, à partir de plusieurs exemples dans l'optique de voir à quel niveau s'effectue des battements au niveau de fréquences microtonales :

http://www.deb8076.eu/Videostutos/TemperamentMicroMax75.mp4

N'étant pas un matheux, j'ai besoin de comprendre ces calculs pour mes compos personnelles où j'utilise les micros intervalles :
https://soundcloud.com/deb76/textures ==> créée avec l'application de l'éditeur de partition Notion sur le Mini Ipad 4 :
https://soundcloud.com/deb76/timbres...tisme-tortures ==> créée avec Opusmodus et tournant autour de la destructuration du total chromatique.

[Alain44]

Jolie formule...

Par contre, j'ai voulu voir ce que cela donne avec un la440 et 9 autres harmoniques, couplé à d'autres notes de la gamme tempérée (toujours avec 9 autres harmoniques). En additionnant pour chaque accord de 2 notes, tous les coefficients R calculés en prenant les fréquences de chaque paire d'harmoniques, j'obtiens ....

Salut Floyer,

En effet ça se voit sur la fig.6.30 p223 de sa thèse.
Pour lui rugosité et dissonance sont corrélées, et proches mais pas identiques.
Son modèle est un modèle de rugosité, pas de dissonance.

J'ai pris un C4 comme lui, et 6 harmoniques comme lui, et je n'arrive pas tout à fait aux mêmes valeurs que lui. C'est gênant, c'est probablement dû au fait qu'il a pris des harmoniques pas tout à fait harmoniques (p207), mais il ne dit pas comment. (il a aussi des arrondis un peu bizarres parfois).
Je multiplie toutes les valeurs de R par 100 (c'est ce qu'il à fait).

Un reproche à sa thèse: il n'y a pas d'analyse de sensibilité (au nb d'harmoniques, au timbre, à l'arrondi sur les fréquences…), ni d'exemple simple de calcul pour être vérifié.
Il aura pu tracer ses courbes avec un pas de quelques cents, au lieu des pas tous les 1/2 tons chro, on aurait mieux vu les minima (justement sur les rapports simples par rapport au valeurs tempérées également)

Au lieu de démarrer sur un La440, essaies aussi un La220 ou La110 ou La55, ça change et suscite aussi des commentaires.

Alain

[Alain44]

Salut Deb.

Tes fichiers de simulation sonore sont intéressants.

Cependant sur mon petit écran de portable c'est un peu minuscule, j'ai du mal à voir ce que tu fais varier.
Serait il possible que tu colles un petit message sur la video du type "maintenant on essaie 2 signaux dents de scie décalés de 5 cents"… (par ex) etc…
Rester un peu de temps sur une variation (ex 2 secondes) pour qu'on ai bien le temps d'écouter). Eviter les variations continues AMHA.

Ton approche de ce problème de battement ou consonances est plus sur l'écoute et c'est très bien.
Avec Floyer on essaie aussi une approche de modélisation, c'est bien aussi.
Les deux approches sont très complémentaires, et c'est ce qui est enrichissant.

Musicalement,
Alain

[floyer]

Pour le nombre d'harmoniques, je pensais que les harmoniques de rang élevées avait une amplitude trop faible pour avoir un impact important... Je suis loin du compte :

Pour un La440, 10 harmoniques

unisson =     0.033405
2min    =     0.586615
2maj    =     0.349841
3min    =     0.316265
3maj    =     0.250796
4       =     0.165778
triton  =     0.194749
5       =     0.088626
6min    =     0.144038
6maj    =     0.109597
7min    =     0.093287
7maj    =     0.100198
oct     =     0.006880

5p      =     0.001217
3Mp     =     0.016871

Pour un La440, 20 harmoniques

unisson =     0.420094
2min    =     1.318141
2maj    =     1.059461
3min    =     0.911793
3maj    =     0.783877
4       =     0.578047
triton  =     0.587358
5       =     0.382546
6min    =     0.426847
6maj    =     0.355200
7min    =     0.301121
7maj    =     0.257630
oct     =     0.076769

5p      =     0.001218
3Mp     =     0.016873

Pour un La440, 40 harmoniques

unisson =     2.585844
2min    =     3.957749
2maj    =     3.374420
3min    =     2.905760
3maj    =     2.487498
4       =     2.027138
triton  =     1.847821
5       =     1.404817
6min    =     1.339226
6maj    =     1.127442
7min    =     0.962402
7maj    =     0.816236
oct     =     0.451577

5p      =     0.001218
3Mp     =     0.016873

Ce qui m'étonne le plus ce sont les valeurs des intervalles pures (octave, tierce majeure, quinte juste), qui sont les mêmes !

Même si les harmoniques de rangs élevés ont leur importance, je n'ai pas l'impression qu'ils changent beaucoup la hiérarchie des rugosités. EDIT : Sauf à 40 harmoniques où la quarte devient plus rugueuse que le triton, entre autre.

Pour changer, le même tableau (40 harmoniques) avec un la 220 :

Pour un La220, 40 harmoniques

unisson =     2.928329
2min    =     4.342004
2maj    =     3.757844
3min    =     3.233051
3maj    =     2.762244
4       =     2.266904
triton  =     2.041623
5       =     1.569762
6min    =     1.476701
6maj    =     1.244178
7min    =     1.065010
7maj    =     0.902432
oct     =     0.515437

5p      =     0.012578
3Mp     =     0.052393

Et un la110 :

Pour un La110, 40 harmoniques

unisson =     3.659256
2min    =     5.009229
2maj    =     4.436829
3min    =     3.846325
3maj    =     3.301949
4       =     2.752338
triton  =     2.440244
5       =     1.930209
6min    =     1.765202
6maj    =     1.492074
7min    =     1.274443
7maj    =     1.072135
oct     =     0.661684

5p      =     0.056184
3Mp     =     0.094319

EDIT Sur ces deux derniers, la quinte devient plus rugueuse que la quarte ! Un petit peu avec un la220, puis plus franchement avec le la110.

NB1: Le programme utilisé est disponible ici : http://www.sinerj.org/~loyer/Dissonance.py (Python)

NB2: Je n'ai pas bien compris les harmoniques pas très harmoniques. (il y a aussi un flou sur le n° de page : celui du fichier PDF, ou celui imprimé). Pour moi une harmonique est un partiel dont la fréquence est multiple d'une fréquence commune appelée fondamentale.

[Invité]

Salut Deb.

Tes fichiers de simulation sonore sont intéressants.

Cependant sur mon petit écran de portable c'est un peu minuscule, j'ai du mal à voir ce que tu fais varier.
Serait il possible que tu colles un petit message sur la video du type "maintenant on essaie 2 signaux dents de scie décalés de 5 cents"… (par ex) etc…
Rester un peu de temps sur une variation (ex 2 secondes) pour qu'on ai bien le temps d'écouter). Eviter les variations continues AMHA.

Ton approche de ce problème de battement ou consonances est plus sur l'écoute et c'est très bien.
Avec Floyer on essaie aussi une approche de modélisation, c'est bien aussi.
Les deux approches sont très complémentaires, et c'est ce qui est enrichissant.

Musicalement,
Alain

Je vais faire ça.

[Invité]

NB1: Le programme utilisé est disponible ici : http://www.sinerj.org/~loyer/Dissonance.py (Python)

Très intéressant pour obtenir les listes. Mais concrètement peux-tu me donner la formule du calcul avec les variables ? Je suis curieux de voir si j'arrive à obtenir ces listes avec mes outils ? J'ai regardé le code en python, mais je ne connais pas sa syntaxe.

[floyer]

NB: Je viens de trouver quelques erreurs et viens de corriger le dernier post (mise à jour des chiffres, suppression d'une conclusion erronée) et mettre à jour le programme (la dernière version est plus propre (je sépare mieux le calcul des harmoniques : amplitudes et fréquence d'un côté et le calcul de la somme des rugosités de l'autre).


La fonction R applique bêtement la formule (il ne devrait pas y avoir de problème de compréhension en terme de syntaxe).

R2 itère sur la première liste, et pour chaque itération sur la seconde. Chaque élément d'une liste est un couple (A, f) : amplitude et fréquence.

La première liste :
list1 = [(1/index_harm,fond_1*index_harm) for index_harm in range(1,n_harm+1)]
est la première liste d'harmoniques : Amplitude = 1/index_harm, fréquence = fond_1*index_harm où 1<=index_harm<=n_harm (le +1 est dû à une convention de Python qui arrête les boucles juste avant la butée). Ici fond_1 vaut 440, 220 ou 110.

La seconde liste :
list2 = [(1/index_harm,fond_2*index_harm) for index_harm in range(1,n_harm+1)]... Exactement le même principe mais avec un fond_2 qui est fond_1 transposé de semi_tone douzième d'octave. (semi_tone=0 pour l'unisson, 1 pour la 2ème min. etc.)

[Invité]

Floyer, merci pour ta réponse, mais je ne suis pas du tout habitué à la syntaxe Python, celle que je maîtrise un peu est celle du LISP en musique. Donc :
"La fonction R applique bêtement la formule (il ne devrait pas y avoir de problème de compréhension en terme de syntaxe)."
Certes, mais je ne connais pas la formule.
list1 = [(1/index_harm,fond_1*index_harm) for index_harm in range(1,n_harm+1)]
Je suppose que ça calcule une série harmoniques ?
Amplitude = 1/index_harm, fréquence = fond_1*index_harm où 1<=index_harm<=n_harm
Là je ne saisis pas du tout cette syntaxe. Comment se calcule cet index et à quoi correspond-il ?
La seconde liste :
list2 = [(1/index_harm,fond_2*index_harm) for index_harm in range(1,n_harm+1)]... Exactement le même principe mais avec un fond_2 qui est fond_1 transposé de semi_tone douzième d'octave. (semi_tone=0 pour l'unisson, 1 pour la 2ème min. etc.)
Même remarque que ci-dessus. La syntaxe que j'utilise avec Open Music est en programmation visuelle. D'ailleurs, pour les harmoniques, il y a des fonctions spécifiques comme ci-dessous avec harm-series ou nth-harm qui permet de créer des séries harmoniques avec des rangs spécifiques. Pour le calcul reconstitué, c'est plutôt simple, la série arithmétique arithmétique-ser permet d'itérer la fréquence fondamentale avec différents pas : 1 par demi-tons, 2 par tons, etc, et multiplication par la fréquence Hz. Le calcul à droite permet de calculer différents tempéraments n=12, 24, 48, 96, etc. Et avec affichage des conversions.



Avec l'autre logiciel de CAO en LISP, Opusmodus, même facilité pour obtenir une série d'harmoniques. La différence est liée à la syntaxe en script:
harmonics 'c3 16 :type :hertz) ;;; => (130.81277 261.62555 392.43832 523.2511 654.0639 784.87665 915.68945 1046.5022 1177.3151 1308.1278 1438.9406 1569.7533 1700.5662 1831.3789 1962.1917 2093.0044)
(harmonics 'c3 16 :type :interval) ; => (12 7 5 4 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 1)
Le même calcul reconstitué :
(defun harmo (x)
(* 130.81 x))
(mapcar #'harmo
(mapcar #' *
(gen-repeat 16 (* (/ 1 1)))
(make-scale 1 16))) ; => (130.81 261.62 392.43 523.24 654.05 784.86 915.67 1046.48 1177.29 1308.1 1438.9099 1569.72 1700.53 1831.34 1962.1499 2092.96)

Pour les quintes, c'est similaire :
(defun cyclequinte2 (x)
(* 130.81 x))
(mapcar #'cyclequinte2
(mapcar #' expt
(gen-repeat 12 (* (/ 3 2)))
(make-scale 0 12))) ; => (130.81 196.215 294.3225 441.48373 662.2256 993.33844 1490.0076 2235.0115 3352.517 5028.776 7543.1636 11314.745)
(pitch-to-interval (hertz-to-pitch '(130.81 196.215 294.3225 441.48373 662.2256 993.33844 1490.0076 2235.0115 3352.517 5028.776 7543.1636 11314.745)))
; => (7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7)
La fonction make-scale d'Opusmodus est similaire à arithm-ser d'Open Music.

Bref, j'aimerais bien voir si je réussis le calcul avec OM et OMPO. Et comme je ne suis pas spécifiquement matheux, j'aurais bien aimé la formule du calcul avec les variables chiffrées comme par exemple le calcul d'un intervalle : log (261.62/277.18)x1200/log2/100

PS : le calcul ci-dessus a été fait avec l'application gratuite Calculator MyScript (applications Google Android, Iphone et iPad) à partir de la saisie manuscrite.
PS1 : Open Music affiche les portées avec la notation et la lecture des micro-intervalles jusqu'au 1/16e de ton. C'est très pratique pour la lecture d'une suite d'harmoniques, y compris disjointes.

[floyer]

Le mieux est de l'écrire comme suit :

A    f
1/1 440*1
1/2 440*2
1/3 440*3
... ...
1/n 440*n

Cela fait un premier son. Ensuite, pour obtenir un deuxième son, je multiplie toutes les fréquences par 2^(Intervalle/12) où intervalle indique que combien tu transposes. Pour les quintes et tierces pures, la multiplication est par 3/2 ou 5/4.

Je suppose que le 4800 est la hauteur d'un do exprimé en cent. (C2 - ou C3 en SPN - étant 4800)

[Invité]

Le mieux est de l'écrire comme suit :

A    f
1/1 440*1
1/2 440*2
1/3 440*3
... ...
1/n 440*n

Cela fait un premier son. Ensuite, pour obtenir un deuxième son, je multiplie toutes les fréquences par 2^(Intervalle/12) où intervalle indique que combien tu transposes. Pour les quintes et tierces pures, la multiplication est par 3/2 ou 5/4.

Je suppose que le 4800 est la hauteur d'un do exprimé en cent. (C2 - ou C3 en SPN - étant 4800)

Pour le Do, oui c'est en midicents, c'est vérifiable ci-dessus dans le calcul des fréquences du total chromatique avec OM avec la liste des conversions. Le choix de cette notation est due à la possibilité de noter et lire jusqu'au 1/16e de ton.
OK pour l'amplitude, pour les fréquences, c'est ce que je fais avec le calcul simple avec OM (freq * arithm-ser) ou avec Opusmodus qui dans le cas présent suppose plus de fonctions pour obtenir la liste. Mais tout dépend des calculs, dans le cas de la matrice de transposition 12x12 façon Boulez (Structure Ia ou Polyphonie X) là où il faut plusieurs fonctions enchaînées avec OM, deux suffisent avec Opusmodus.
Pour les quintes et les tierces pures, 3/2 ou 5/4, c'est ce que j'utilise aussi pour les calculs (Cf le calcul ci-dessus sur le cycle des quintes) avec OM ou OPMO.
Ceci étant, ce qui m'intéressait c'était les formules de calcul concrètes afin de tenter de reproduire les calculs dans OM et OPMO. Du coup, comme j'aime bien comprendre - même si l'analyse de la consonance/dissonance ne fait pas partie de mes priorités, je suis plus nettement intéressé par les tempéraments et notamment les calculs des micro-intervalles -
(pour un La110, 39 harmoniques

unisson =     3.659256
2min    =     5.009229
2maj    =     4.436829
3min    =     3.846325
3maj    =     3.301949
4       =     2.752338
triton  =     2.440244
5       =     1.930209
6min    =     1.765202
6maj    =     1.492074
7min    =     1.274443
7maj    =     1.072135
oct     =     0.661684


5p      =     0.056184
3Mp     =     0.094319

)
tes listes m'interpellent et je souhaite comprendre le processus de calcul pour les créer dans OM et OPMO.
Du coup, je me suis dit que la meilleure façon c'était de passer par Python et d'utiliser ton programme, de le tester puis de l'analyser. Déjà, on fait un copié-collé et ça fonctionne, la liste ci-dessus en témoigne. Bon maintenant, il faut que j'assimile la syntaxe, mais comme c'est de la programmation informatique je retrouve des similitudes avec le Lisp, notamment avec l'assignation des variables. Donc, ça vaut le coup de s'y plonger. D'autant que c'est aussi une excellent calculatrice et qui peut afficher très rapidement des séries de calculs. Dans le document que tu avais posté (http://www.mpi.nl/world/materials/pu...Tonal_1965.pdf), il y a une suite de rapports concernant la consonance de tous les intervalles. J'ai fait un petit test avec Python, et c'est vrai que c'est très pratique car en associant la première liste et la seconde (Malmberg) à des variables, on obtient en un retour du clavier les résultats (je n'ai pas trouvé où il fallait choisir le nombre de décimales après la virgule):
>>> rapport = 1/1, 1/2, 2/3, 3/4
>>> rapport1 = 4/5, 5/8, 5/6, 5/7, 5/9, 8/9, 8/15, 15/16
>>> print (rapport)
(1.0, 0.5, 0.6666666666666666, 0.75)
>>> print (rapport1)
(0.8, 0.625, 0.8333333333333334, 0.7142857142857143, 0.5555555555555556, 0.8888888888888888, 0.5333333333333333, 0.9375)
>>> print (rapport, rapport1)
(1.0, 0.5, 0.6666666666666666, 0.75) (0.8, 0.625, 0.8333333333333334, 0.7142857142857143, 0.5555555555555556, 0.8888888888888888, 0.5333333333333333, 0.9375)
Bref, je n'ai pas l'intention de devenir un expert en Python, c'est un peu tard, et puis j'ai suffisamment affaire avec Open Music et Opusmodus, mais je crois que je vais l'utiliser pour certains calculs.

[floyer]

La logique est simple, et est dans R2 : une boucle externe passe en revue toutes les harmoniques de la première liste. À l'intérieur, on boucle sur les harmoniques de la seconde liste. Et à chaque fois, on ajoute à res (opérateur +=), le résultat du calcul de R avec une harmonique de la première liste et une harmonique de la seconde.

Les listes sont des listes de couples. Python distingue des n-uplet (dont les couples), des listes. Les premiers sont présentés par des parenthèses comme dans tes résultats, les listes par des crochets []. Au delà de l'apparence, on peut ajouter des éléments à une liste, et les créer par "compréhension". (Ex liste des carrés de i pour i compris entre 0 et 9 s'écrit [i*i for i in range(9+1)]. C'est assez proche d'une notation mathématique. On utilise plutôt les listes pour une suite de taille quelconque. Mais les nuplet sont plus rapides. En lisp on ne ferait pas cette différence.

Je ne me suis mis que tardivement à Python. Cela s'apprend vite pour faite des choses simples. J'utilise PyCharm comme IDE.