Musique et mathématiques : Interrogations, questions et autres liens

[floyer]

L'étirement d'octave (streched tuning) est plus général : il me semble que le cas du système Cordier y est un cas particulier. L'accord usuel, (quinte tempérées... mais étirées avec l'inharmonicité du piano) relève aussi de l'étirement d'octave (cf page stretched tuning de Wikipédia où l'étirement d'ovave concerne les accords où l'octave n'a pas un rapport 2/1... ce qui se passe naturellement à l'oreille). Les logiciels d'assistance à l'accord du piano permettent le choix de l'étirement avec plusieurs valeurs.

Pour la carte son, c'est fou le nombre de concurrents dans la gamme de prix (Focusrite 2i2, Steinberg UR22, Audiobox 22VSL, M-Audio M-Track 2x2...) Je suppose qu'elle se valent toutes plus ou moins, aussi je privilégierais la UR22 qui a des ports MIDI ce qui me fera gagner un port USB. Le bundle avec Cubase AI peut être intéressant, mais ayant déjà Reaper, cela sera plus pour la curiosité (connaître un logiciel qui est une référence, même si dans une version limitée par certains aspects). Dommage, j'aurais bien pris la Focusrite avec sa jolie carrosserie rouge ! (Avec Ableton Lite, autre logiciel qui gagne à être connu).

[Alain44]

Salut Floyer,

Désolé pour le "stretched" au lieu de "streched".
j'aime l'étirement des octaves de Cordier, au lieu de l'étirement des quintes et tierces. J'ai pu le tester sur un clavier (je ne sais plus lequel qui acceptait le réglage par octave), j'ai trouvé ce tempérament très agréable, très "vivant".


J'avais essayé (il y a 5 ans en gros) plusieurs tempéraments sur une "AutoHarp" (lien externe, car charte: "Oscar Schmidt OS21C Autoharp Classic").
C'est un instrument avec des cordes réelles, et une table d'harmonie, que j'ai encore, surtout par sentimentalisme. C'est hyper émotionnel comme instrument, quand on prend le temps de l'accorder en différentes tempéraments (avec un accordeur), à découvrir si envie…..

Ça peut paraître très basique (la AutoHarp ne fait que quelques accords de base), mais c'est hyper-intéressant à l'écoute. Tout est dans la finesse de l'écoute du tempérament. J'adore (bien que cela soit très dépassé). Je l'utilise principalement pour "l'écoute harmonique des tempéraments". Et c'est souvent très jouissif.
La AutoHarp est aussi utilisée en "musicothérapie"…
A l'école, elle est l'équivalent aux US, de notre flute à bec en France. Je trouve cette comparaison intéressante et instructive.

Je trouve qu'avec les samples sur nos claviers actuels, on a pas la "sensation du tempérament" comme sur par ex un instrument basique qu'est la AutoHarp.


Alain

[floyer]

L'autoharp me fait penser à la cithare. Il existe d'ailleurs une version dédiée à l'initiation musicale (http://www.cithare.com/1_cith_enf.html).

EDIT: c'est bien stretched qu'il faut lire !

Il faudra que je joue un fichier MIDI en système Cordier pour voir. Deux approches : réaffecter les notes sur 16 canaux MIDI et envoyer des Pitchbend ad'hoc. À faire sous forme de script Reaper par exemple. Problème : on limite la polyphonie à 16 notes !

Autre approche : modifier une bibliothèque de son pour "corriger" les hauteurs de notes. Je ne sais pas si on peut le faire avec Kontakt (et des bibliothèques commerciales)... de toutes façons, ce logiciel manque à ma bibliothèque ! En revanche, Salamander Piano est dans un format ouvert (SFZ), aucune difficulté pour modifier le fichier.

[Alain44]

Le "stretched tuning": je l'avais essayé notamment sur mon PA900
(il me semble que tous les PA l'ont)

[floyer]

Je ne sais comment l'étirement d'octave peut être ressentie avec une oreille assez fine. La plupart des pianos numériques bouclent des échantillons et sont donc harmoniques. Étirer les octaves pour compenser l'inharmonicité risque de ne pas avoir de sens. En revanche, avec un son modélisé (Roland, Pianoteq), ou enregistrés de l'attaque à l'extinction, cela présente plus de sens.

Je viens de jeter un coup d'œil à Salamander Piano : il y a deux versions du fichier sfz qui décrit les échantillons. Un sans accord, et un autre avec des corrections jusqu'à 38 cents ! (38 centièmes de demiton). Du coup, j'ai l'impression que faire une démonstration du tempérament Cordier avec risque d'être difficile. (Analyser l'accord pour mieux le corriger).

[Invité]

Dans le classique "Acoustique et Musique" de E. Leipp, je vois que dans son chapitre les instruments à cordes, E. Leipp donne les formules concernant la vibration transversale, la vibration longitudinale, ainsi que la vibration de torsion. De même, il donne la formule "physique" d'un résonateur. Est-ce que cela vous intéresse ?

[floyer]

Transversale et longitudinal, pour des cordes, j'imagine bien. Mais de torsion, moins. Cela m'intéresse ! (De même pour le résonateur).

[Alain44]

Je ne sais comment l'étirement d'octave peut être ressentie avec une oreille assez fine. La plupart des pianos numériques bouclent des échantillons et sont donc harmoniques. Étirer les octaves pour compenser l'inharmonicité risque de ne pas avoir de sens.

Moi je ressens ce tempérament (stretched-Cordier) "assez vivant", bien sûr c'est vague.
Dans le jeu, c'est subtil. Il faut je pense plusieurs heures pour bien le sentir. Sur un bon gros rock, c'est inutile de tester. Sur quelques ambiances bien romantiques, à voir….

Je n'ai pas compris:
"et sont donc harmoniques. Étirer les octaves pour compenser l'inharmonicité risque de ne pas avoir de sens"
Le tempérament est un réglage des sons fondamentaux.
Il n'a rien à voir avec l'inharmonicité AMHA.
Les deux sont importants mais indépendants AMHA.

Je peux tout à fait avoir des octaves décalées de quelques cents, mais avec des harmoniques pures. Où est le problème ?
A l'inverse, je peux avoir des octaves pures, mais des inharmonicités. Ça ne me gêne pas.

C'est surtout l'écoute, et la culture du moment et de la personne qui diront le degré "d'acceptabilité"….

Et aussi: il faut rester dans la limite de "l'audible". Certaines nuances de hauteurs sont audibles dans certaines circonstances , mais pas toujours ....


Alain

[floyer]

S'il n'y avait que les fondamentaux, je ne pense pas qu'il n'y aurait pas de problème de tempérament. Aucun des accords ne présenterait des battements, et on ne décèlerait pas des variations de quelques cents. Une manière d'accorder le piano est d'accorder les octaves justes. C'est-à-dire, faire coïncider les harmoniques des octaves, et donc appliquer un ratio proche de 2, mais très légèrement supérieur à cause de l'inharmonicité. C'est un des étirements d'octave possible. Ceci-dit, rien n'empêche d'étirer encore plus l'octave pour donner un certain caractère à cet octave. C'est probablement cet étirement supplémentaire sont il est question lorsque l'on règle un piano numérique (ou un logiciel d'assistance à l'accord du piano).

Tu écris

Et aussi: il faut rester dans la limite de "l'audible".

Ce sont les battements des harmoniques qui seront ressenties lorsque l'on évoque des différences de hauteur aussi subtiles que celles liées aux tempéraments.

[Invité]

Concernant comment accorder un piano, je vous conseille d'essayer de regarder ce documentaire "pianomania" (http://www.pianobleu.com/actuel/pian...er-Pierre.html), qui avait été diffusé par Arte il y a quelques mois. Il montre la collaboration du pianiste Pierre-Laurent Aimard qui doit enregistrer l'Art de la Fugue de Bach à Vienne et le technicien/accordeur de chez Steinway, Stefan Knüpfer, qui accorde les pianos des grands solistes. Pierre-Laurent Aimard souhaite pour chacune des pièces de l'Art de la Fugue (voir son explication notamment à partir de 3:5) préparer le piano afin que le timbre soit en adéquation avec le caractère de chacune des pièces. Et durant le documentaire, on voit Stefan Knüpfer "préparer" le piano, il ajuste les cordes, met des feutres, monte, descend, pour donner plus de caractère. Et c'est, comme le souligne floyer, des étirements, mais aussi parfois des contractions. Bref, à ce niveau, l'accordeur est aussi un artiste et le documentaire est proprement fascinant.

[Alain44]

@Deb,
Merci pour le lien, mais je ne peux visionner (en bas de la page) que la vidéo de 9:26 de PL Aimard.
Celle d'en dessous en NB n'est pas dispo.

@Floyer,
Je suis d'accord qu'un tempérament différent va modifier les battements entre des harmoniques.
Mais j'ai toujours cette question: comment des battements entre des harmoniques de haut rang (donc par ex à -40 dB ou -30 dB du fondamental) peuvent ils avoir une énergie suffisante pour être audibles? (le modèle de Vassilakis me surprend sur ce point, et je pense que tu l'avais souligné aussi en augmentant le nombre d'harmoniques)

EDIT:
Suivant Vassilakis si je prend 2 sinus purs d'amplitude 1, j'obtiens une rugosité R1.
Sans changer le reste (notamment les fréquences) je baisse les signaux de 20 dB: j'obtiens 0,63.R1
Je baisse les signaux de 40 dB: j'obtiens 0,4.R1
Je baisse les signaux de 60 dB: j'obtiens 0,25.R1

J'ai donc 2 signaux (à -60 dB) inaudibles par rapport à un fondamental (à 0 dB) mais qui me génèrent encore 25% de rugosité ! (il ne faut pas oublier que les sons et leurs harmoniques sont émis ensemble, et donc que les forts niveaux masquent complètement les faibles niveaux.)
Il me faudrait seulement 4 paires d'harmoniques qui frottent (même à -60 dB) pour générer un rugosité équivalente à celle d'une paire à 0 dB.
Ça me paraît irréaliste.

Je verrais mieux une fonction en X^0,5 au lieu de son X^0,1 … ça changerait beaucoup de choses sur ce point.
Pour moi en gros vers le 10e harmonique (ou vers -40 dB suivant le spectre), ça ne doit pas changer la rugosité (asymptotiquement).
Quelqu'un peut avoir une oreille exceptionnelle, mais repérer un son à -60 dB sous un autre à 0 dB ?????? c'est un alien !!

[Alain44]

Je pense avoir trouvé d'où les problèmes viennent avec le modèle de Vassilakis.

En fait, d'après Terhardt (1974) il dit que la rugosité de 2 sinus (et seulement 2, sans autre chose !) dépend très peu de leur volume (amplitude).
Pour cette "rugosité élémentaire" (d'une paire de sinus purs) je veux bien (ça donne son X^0,1): l'écoute n'est pas perturbée par d'autres sons plus forts.

PAR CONTRE, dans l'écoute de 2 sons complexes, les premiers harmoniques sont beaucoup plus forts que ceux de rang élevé (décroissance des amplitudes en 1/n ou 1/n^2 en gros). Les contributions des rugosités élémentaires à la rugosité globale ne me paraît pas équitable. Les rugosités élémentaires, mêmes fortes, seront négligeables si les amplitudes sont inaudibles (par ex à -60 dB) par rapport à celles de fondamentaux (par ex à 0 dB).

En fait le problème est je crois dans l'obtention de la rugosité globale à l'aide des rugosités élémentaires: il fait tout simplement la somme des rugosités ! (p90 de sa thèse, et il y a très peu d'arguments pour ça).

AMHA il serait intéressant de faire une somme pondérée par les amplitudes, par ex:
Rugosité globale de 2 signaux complexes R:
R= somme pour i et j ( (Ai.Aj)^0,5 . Rij )
avec Rij la rugosité élémentaire de la paire de sinus i , j
La puissance 0,5 me semble correcte, mais peu être ajustée (augmentée). Elle donne une contribution de 1/1000e pour les deux amplitudes à -60 dB (et 1/100e pour - 40dB, et 1/10e pour -20 dB) ce qui semble raisonnable pour représenter les effets de masque sur la rugosité globale.

Il est d'ailleurs symptomatique de voir que dans la thèse il ne parle quasiment pas de "mask" (et jamais dans son sujet prinicipal).

Une somme pondérée de ce type influencerait peu les résultats pour les premiers harmoniques (ce qui resterait en cohérence avec l'expérimentation de sa thèse), mais ces résultats seraient très peu influencés par le nombre d'harmoniques de rang élevé pris en considération, et on pourrait mieux appréhender l'influence du timbre sur la rugosité....

Alain

[Invité]

Les explications sont ici

A noter que j'ai saisi les formules sur l'écran à la souris via cet éditeur en ligne sur le site MyScript, société française axée sur entre autres recherches sur la reconnaissance manuscrite :

https://webdemo.myscript.com/views/math.html

Dans ce cas présent, j'ai dû toutefois effectuer quelques modifications mineures que j'ai effectuées à partir du code Latex via LaTexIT. Mais sinon, ce module de conversion "Math" permet de créer rapidement des formules ou équations mathématiques prêtes à être insérées dans un document via un copié-collé et sans avoir à passer par un éditeur d'équations.
Pour ceux qui ont un iPhone/ipad ou smartphone/tablette Android, l'application "Calculator MyScript" effectue les calculs à partit d'une saisie manuscrite avec un stylet (ou au doigt mais ce n'est guère très précis), enfin, pour ceux qui ont un iPad Pro et l'Apple Pencil ou une Surface Pro de Windows avec le stylet, l'Application Nebo outre d'effectuer les calculs à partir d'une saisie manuscrite les converse dans des blocs notes. Et c'est plutôt bluffant. De même, avec l'application Astropad qui transforme l'Ipad Pro en tablette graphique, on effectue la saisie manuscrite sur la page web du module Math en ligne directement sur l'écran du Mac. C'est ce que j'ai fait pour les formules ci-dessus.

PS : C'est en découvrant avec l'application "Math" la conversion en code Latex (mais aussi en MathML ou SymbolTree), que j'ai eu envie de me plonger dans Latex. Et je ne le regrette pas. Sa découverte/initiation est grandement facilitée avec les codes produits par le module Math.

[floyer]

Avec les dessins, cela aide à se représenter les choses. Il convient aussi de noter qu'en transversal, il y a deux modes, en fonction du plan d'oscillation : l'un sollicite efficament le chevalet (et l'énergie décroît vite), l'autre non.

Effectivement, si tu fais des maths, l'investissement en temps pour se mettre à LaTeX est vite rentabilisé. J'ai vite compris lorsque j'avais à rendre un mini mémoire plein de formules. Avec Word (2.0 à l'époque), c'était trop galère. Même sur le site de Microsoft, j'avais trouvé des documents faits sous LaTeX (research.microsoft.com je l'avoue). Un environnement qui vaut le détour est Texmaker.

[Invité]

Bonjour,

Avec les dessins, cela aide à se représenter les choses. Il convient aussi de noter qu'en transversal, il y a deux modes, en fonction du plan d'oscillation : l'un sollicite efficament le chevalet (et l'énergie décroît vite), l'autre non.
Effectivement, si tu fais des maths, l'investissement en temps pour se mettre à LaTeX est vite rentabilisé. J'ai vite compris lorsque j'avais à rendre un mini mémoire plein de formules. Avec Word (2.0 à l'époque), c'était trop galère. Même sur le site de Microsoft, j'avais trouvé des documents faits sous LaTeX (research.microsoft.com je l'avoue). Un environnement qui vaut le détour est Texmaker.

Je réponds avec quelque peu de retard, mais tu en es le premier responsable mais très positivement pour deux raisons. La première Python et la seconde, Latex avec texmaker. Car du coup, je me suis plongé dans les deux. Au début, come je l'ai écrit plus haut, je souhaitais voire si je pouvais porter ton programme (http://www.sinerj.org/~loyer/Dissonance.py) sur Opumodus et Open Music, mais pour cela, je dois comprendre la structure des opérations et la syntaxe, donc, je suis en plein dedans. sur mon vieil Imac 4 Go de Ram, j'ai installé la version 2.7 de (https://www.python.org/downloads/) et Canopy, et sur les deux autres les versions 3 et Canopy plutôt sympa pour les graphiques mais limité à la version Python 2.7.
Comme tu le soulignes, pour des choses simples, il est aisé à assimiler. Et ce d'autant plus, que j'utilise en CAO le LISP. Et du coup, je me suis créé quelques petits utilitaires bien pratiques : table de séries harmoniques, calcul de tempéraments (indices de progression et Fréquences Hz des tables d'Augusto Novaro), calcul d'un intervalles dans les tempéraments en microtonalité (utile dans le cas d'une division de l'octave n=48 ou 96) à partir des logs, etc. Ensuite, Latex. Je m'y suis mis en raison des applications de MyScript qui affichent les codes Latex. Mais je ne connaissais pas la distribution texmaker que tu m'as indiquée. Et c'est exactement ce que je recherchais. C'est vraiment impeccable pour écrire des formules mathématiques dans un article, communication, livre, etc. en PDF. J'ai juste un regret autant la qualité des conversions Latex sont vraiment excellentes, autant les importations de figures sont très moyennes en rendu de qualité. Dommage. Mais sinon, c'est un très bel outil pour des tutoriels. Donc merci pour ces découvertes.